Potenzreihen - Mathepedia (2024)

Sei $(a_n)$ (an) eine Folge und $x_0 \in \R$ x0∈R. Eine Reihe der Form

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ n=0∑∞an(x−x0)n $= a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2+ \cdots$ =a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯

heißt Potenzreihe. Sei $c_n := \sqrtN{n}{|a_n|}$ cn:=n∣an∣ für $n \in \N$ n∈N; wir setzen dann

$r:=\begin{cases} 0 & \text{falls }(c_n) \text{ unbeschränkt}\\ \infty & \text{falls } c_n \to 0\\ \dfrac{1}{\limsup c_n} & \text{falls } c_n \text { beschränkt und }\limsup c_n\gt 0\end{cases}$ r:=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0∞limsupcn1falls(cn)unbeschra¨nktfallscn→0fallscnbeschra¨nktundlimsupcn>0

Dann heißt $r$ r Konvergenzradius der Potenzreihe. Im folgenden beschränken wir uns auf Potenzreihen der Form

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ n=0∑∞anxn

d.h. solche Potenzreihen, bei denen $x_0 = 0$ x0=0. Der allgemeine Fall $x_0 \in \R$ x0∈R lässt sich immer durch die Transformation $y = x -x_0$ y=x−x0 auf diesen Spezialfall zurückführen.

Satz 16M5 (Konvergenz von Potenzreihen und Konvergenzradius)

Sei $\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ n=0∑∞anxn eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $r$ r. Dann gilt:

Ist $r = 0$ r=0, so konvergiert die Potenzreihe nur für $x = 0$ x=0.
Ist $r = \infty$ r=∞, so konvergiert die Potenzreihe für jedes $x \in \R$ x∈R.
Ist $r \in ]0, \infty[$ r∈]0,∞[, so konvergiert die Potenzreihe absolut für $|x| < r$ ∣x∣<r und sie divergiert für $|x| > r$ ∣x∣>r.
Für $|x| = r$ ∣x∣=r ist keine allgemeine Aussage möglich.

Beweis

Sei $x \in \R$ x∈R und $c_n := \sqrtN{n}{|a_n|}$ cn:=n∣an∣ sowie $b_n := a_n x^n$ bn:=anxn ( $n \in \N$ n∈N). Dann gilt: $\sqrtN{n}{|b_n|} = (|a_n| \cdot |x^n|)^{\dfrac{1}{n}}$ n∣bn∣=(∣an∣⋅∣xn∣)n1 $= \sqrtN{n}{|a_n|} \cdot |x| = c_n \cdot |x|$ =n∣an∣⋅∣x∣=cn⋅∣x∣. (i) Sei $r = 0$ r=0 $\; \Rightarrow \; (c_n)$ ⇒(cn) ist unbeschränkt $\;\Rightarrow \; \sqrtN{n}{|b_n|}$ ⇒n∣bn∣ ist unbeschränkt für $x \neq 0$ x=/0 ${\Rightarrow} \; \sum\limits b_n$ ⇒∑bn divergiert für $x \neq 0$ x=/0 (nach dem Wurzelkriterium) Also konvergiert $\sum\limits b_n$ ∑bn nur für $x = 0$ x=0.

(ii) Sei $r = \infty \; \Rightarrow \; c_n \to 0$ r=∞⇒cn→0 $\;\Rightarrow\; \sqrtN{n}{|b_n|} \to 0$ ⇒n∣bn∣→0 für jedes $x \in \R$ x∈R. $\Rightarrow\; \limsup\sqrtN{n}{|b_n|}= 0$ ⇒limsupn∣bn∣=0 (nach Satz 16M1) ${\Rightarrow} \; \sum\limits b_n$ ⇒∑bn konvergiert nach dem Wurzelkriterium absolut für jedes $x \in \R$ x∈R. (ii) Sei $r \in ]0, \infty[$ r∈]0,∞[ und $\delta := \limsup c_n$ δ:=limsupcn, also $r = \dfrac{1}{\delta}$ r=δ1. Dann gilt:

$\limsup \sqrtN{n}{|b_n|}$ limsupn∣bn∣ $= \delta \cdot |x|$ =δ⋅∣x∣ $= \dfrac{|x|}{r} < 1 \quad$ =r∣x∣<1 $\Leftrightarrow \quad |x| < r$ ⇔∣x∣<r

oder

$\limsup \sqrtN{n}{|b_n|} > 1 \quad$ limsupn∣bn∣>1 $\Leftrightarrow \quad |x| > r$ ⇔∣x∣>r

Die Behauptung folgt dann aus dem Wurzelkriterium. $\qed$ □

Beispiele

Exponentialreihe

Die Exponentialreihe $\sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$ n=0∑∞n!xn konvergiert absolut für jedes $x \in \R$ x∈R.

Es ist $a_n = \dfrac{1}{n!}$ an=n!1, also $\sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n!}}$ n∣an∣=nn!1 $\;\Rightarrow \; \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrtN{n}{n!} \right)^{-1} = 0$ ⇒n→∞lim(nn!)−1=0. Also: $r = \infty$ r=∞.

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe $\sum\limits\limits_{n=0}^\infty x^n$ n=0∑∞xn konvergiert absolut für $|x| < 1$ ∣x∣<1 und divergiert für $|x| \geq 1$ ∣x∣≥1. Mit $a_n = 1$ an=1 ist ihr Konvergenzradius $r = 1$ r=1, denn $\limsup \sqrtN{n}{|a_n|} = 1$ limsupn∣an∣=1.

Beispiel

Für die Potenzreihe $\sum\limits\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}$ n=1∑∞nxn ist $a_0 = 0$ a0=0 und $a_n = n^{-1}$ an=n−1. $\sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n}} \to 1$ n∣an∣=nn1→1 (Beispiel 16M6) $\Rightarrow \; \limsup \dfrac{1}{\sqrtN{n}{n}} = 1$ ⇒limsupnn1=1 $\;\Rightarrow \;$ ⇒Konvergenzradius $r = \dfrac{1}{1} = 1$ r=11=1. Die Potenzreihe konvergiert also für $|x| < 1$ ∣x∣<1 und divergiert für $|x| > 1$ ∣x∣>1. Für $|x| = 1$ ∣x∣=1 gilt: 1.Fall: $x = 1$ x=1: Die harmonische Reihe $\sum\limits \dfrac{1}{n}$ ∑n1 divergiert $\; \Rightarrow \;$ ⇒ die Potenzreihe divergiert. 2. Fall $x = -1$ x=−1:Die alternierende harmonische Reihe $\sum\limits \dfrac{(-1)^n}{n}$ ∑n(−1)n konvergiert.. $\Rightarrow \;$ ⇒ die Potenzreihe konvergiert (jedoch nicht absolut).

Beispiel

Für die Potenzreihe $\sum\limits\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n^2}$ n=1∑∞n2xn ist $a_0 = 0$ a0=0 und $a_n = \dfrac{1}{n^2}$ an=n21. $\sqrtN{n}{|a_n|} = \dfrac{1}{\left(\sqrtN{n}{n}\right)^2} \to 1$ n∣an∣=(nn)21→1 also $\limsup \sqrtN{n}{a_n} = 1$ limsupnan=1 $\Rightarrow \,$ ⇒ Konvergenzradius $r = \dfrac{1}{1} = 1$ r=11=1 Die Potenzreihe konvergiert also absolut für $|x| < 1$ ∣x∣<1 und divergiert für $|x| > 1$ ∣x∣>1. Für $|x| = 1$ ∣x∣=1 gilt 1. Fall $x=1$ x=1: $\sum\limits \dfrac{1}{n^2}$ ∑n21 konvergiert absolut $\Rightarrow \;$ ⇒ die Potenzreihe konvergiert absolut. 2. Fall $x = -1$ x=−1: $\sum\limits \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ ∑n2(−1)n konvergiert absolut $\;\; \Rightarrow \;\;$ ⇒ die Potenzreihe konvergiert absolut.

Beispiel

Für $\sum\limits\limits_{n=0}^\infty n^n x^n$ n=0∑∞nnxn ist: $a_n = n^n$ an=nn. $c_n := \sqrtN{n}{|a_n|} = n \;$ cn:=n∣an∣=n $\Rightarrow \; (c_n)$ ⇒(cn) ist unbeschränkt $\Rightarrow \;$ ⇒ Konvergenzradius $r = 0$ r=0. Die Potenzreihe konvergiert also nur für $x = 0$ x=0.

Beispiel

$\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ n=0∑∞anxn mit $a_n = \begin{cases} \dfrac{n}{2^n},&n \text{ gerade} \\ \dfrac{1}{n 3^n},&n \text{ ungerade} \end{cases}$ an=⎩⎨⎧2nn,n3n1,ngeradenungerade. $c_n := \sqrtN{n}{|a_n|} = \begin{cases} \dfrac{\sqrtN{n}{n}}{2}, &n \text{ gerade} \\ \dfrac{1}{3 \sqrtN{n}{n}},&n \text{ ungerade} \end{cases}$ cn:=n∣an∣=⎩⎪⎨⎪⎧2nn,3nn1,ngeradenungerade $\Rightarrow \;$ ⇒ Häufungspunkte von $c_n$ cn sind $\left\{\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right\}$ {31,21}, also $\limsup c_n = \dfrac{1}{2}$ limsupcn=21 $\Rightarrow\;$ ⇒Konvergenzradius $r = 2$ r=2. Die Potenzreihe konvergiert absolut für $|x| < 2$ ∣x∣<2 und divergiert für $|x| > 2$ ∣x∣>2. Ist $|x| = 2$ ∣x∣=2, so gilt für gerades $n$ n: $|a_n x^n| = \dfrac{n}{2^n} |x|^n$ ∣anxn∣=2nn∣x∣n $= n \;$ =n $\Rightarrow \; a_n x^n$ ⇒anxn ist keine Nullfolge $\Rightarrow \; \sum\limits a_n x^n$ ⇒∑anxn divergiert für $|x| = 2$ ∣x∣=2. Die Beispiele zeigen auch, dass für $|x| = 1$ ∣x∣=1 ist keine allgemeine Aussage möglich ist.

Satz 16M8 (Quotientenkriterium für Potenzreihen)

Sind fast alle $a_n\not=0$ an¬=0 und existiert $L:=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ L:=n→∞lim∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣, so gilt für den Konvergenzradius $r$ r der Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ n=0∑∞an(x−x0)n:

$r=L$ r=L

Beweis

Wir setzen $b_n:=a_n(x-x_0)^n$ bn:=an(x−x0)n; dann gilt für $x\not=x_0$ x¬=x0:

$\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|$ ∣∣∣∣bnbn+1∣∣∣∣ $=\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-x_0|$ =∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣⋅∣x−x0∣

1. Fall: $L=0$ L=0: $\Rightarrow\;\; \left(\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|\right)$ ⇒(∣∣∣∣bnbn+1∣∣∣∣) ist unbeschränkt. $\Rightarrow\; \sum\limits b_n=\sum\limits a_n(x-x_0)^n$ ⇒∑bn=∑an(x−x0)n ist divergent. $\Rightarrow\; \sum\limits a_n(x-x_0)^n$ ⇒∑an(x−x0)n konvergiert nur für $x=x_0$ x=x0. $\Rightarrow\; r=0$ ⇒r=0. 2. Fall $L>0$ L>0: $\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|$ ⇒limn→∞∣∣∣∣bnbn+1∣∣∣∣ $=\lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot|x-x_0|$ =limn→∞∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣⋅∣x−x0∣ $=\dfrac{1}{L}|x-x_0|$ =L1∣x−x0∣ $\Rightarrow\; \sum\limits b_n=\sum\limits a_n(x-x_0)^n$ ⇒∑bn=∑an(x−x0)n ist konvergent, falls $\dfrac{1}{L}|x-x_0|<1$ L1∣x−x0∣<1, und ist divergent für $\dfrac{1}{L}|x-x_0|>1$ L1∣x−x0∣>1 (Quotientenkriterium). Also konvergent für $|x-x_0|<L$ ∣x−x0∣<L und divergent für $|x-x_0|>L$ ∣x−x0∣>L $\Rightarrow\; r=L$ ⇒r=L $\qed$ □

Satz 16M9 (Produkt von Potenzreihen)

$\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ n=0∑∞an(x−x0)n und $\sum\limits\limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$ n=0∑∞bn(x−x0)n seien zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien $r_1$ r1 bzw $r_2$ r2. Wir setzen:

$R:=\begin{cases}\min\{r_1,r_2\}& \text{falls }r_1<\infty \text oder r_2<\infty\\ \infty&\text{falls }r_1=\infty \text und r_2=\infty\end{cases}$ R:={min{r1,r2}∞fallsr1<∞oderr2<∞fallsr1=∞undr2=∞

Dann ist der Konvergenzradius des Cauchyproduktes der Reihen

$\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n$ n=0∑∞cn(x−x0)n wobei $c_n:=\sum\limits\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}$ cn:=k=0∑nakbn−k

$\geq R$ ≥R

und es gilt:

$\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n$ n=0∑∞cn(x−x0)n $=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right)\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\right)$ =(n=0∑∞an(x−x0)n)⋅(n=0∑∞bn(x−x0)n)

für $|x-x_0|<R$ ∣x−x0∣<R.

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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